Les tresses

La notion de vecteur Nous définissons tout d’abord un vecteur comme un opérateur fonctionnel ou foncteur, c’est-à-dire une fonction qui applique une fonction sur une autre fonction. Autrement dit, au triplet (point de départ, flèche, point d’arrivée) je fais correspondre le triplet (point de départ bis, flèche bis, point d’arrivée bis). L’opération est un copier-coller. Ce qui se note : Γ : f ->Γ (f) γ 1 : x ->γ 1 (x) γ 2 : f (x) ->γ 2 (f (x) ) Lorsque nous définissons un produit cartésien de deux ensembles E et F, un vecteur apparaît immédiatement comme une fonction de E×F dansE×F. Ce qui s’écrit : Γ :E×F -> E×F Γ : (x , f(x) ) -> (γ 1 (x) ,γ 2 (f (x) ) ) Transformation d’opérateur vectoriel Nous définissons un opérateur vectoriel comme un foncteur ou une fonction qui applique un vecteur sur un vecteur, ou qui applique un opérateur fonctionnel sur un opérateur fonctionnel. Ce qui se note : 𝔤 :Γ ->𝔤 (Γ ) 𝔤 : x ->𝔤 (x) 𝔤 : f (x) ->𝔤 ( f(x) ) 𝔤 :γ 1 (x) ->𝔤 (γ 1 (x) ) 𝔤 :γ 2 (f (x) ) ->𝔤 (γ 2 (f (x) ) ) Tresse élémentaire Considérons le produit cartésien𝔽 2×𝔽 2 , la fonction f [ (0,0) -> (0,1) ; (1,0) -> (1,1) ] et les fonctionsf 1 [(0,0) -> (0,1)] etf 2 [(1,0) -> (1,1)]. Nous allons voir que le résultat mathématique diffère selon que l’on utilise f ou le couple de fonctions (f 1 ,f 2 ). Cette tresse élémentaire, sans chevauchement de brins est aussi appelée tresse unité. Transformation d’une tresse par un opérateur En chantier Work in progress

Les mathématiques de l'amour

Hannah Fry dans un ouvrage intitulé "Les mathématiques de l'amour" ,paru chez Marabout, nous décline les différentes techniques de recherche du partenaire idéal et surtout de l'appui mathématique dans cette quête. https://www.ted.com/talks/hannah_fry_the_mathematics_of_love? Pour ceux qui en doutent encore, les mathématiques sont simples et permettent de comprendre les choses vraiment compliquées comme l'amour ou la métaphysique. Selon la psychanalyse, l'homme dépasse la femme dans presque tous les domaines (sciences, techniques, gastronomie, ...) parce que l'orgasme masculin est trop court par rapport à l'orgasme féminin et donc il doit compenser. Mais il est un domaine où les femmes battent les hommes à plat de couture et c'est le plus beau des domaines, c'est celui de l'amour. L'équation du coeur se trouve sur le site La boutique mathématique

Free tuition of LaTeX

Work in Progress

Available in French in February Archive

The software needed
It’s imperative to download the software LaTeX from the website LaTeX or from a platform Ubuntu
available to the users of this program.
1. using Windows
Many programs are needed of whom Ghost Script (software able to transform a file .tex in a
file .pdf)
2. using Linux
One program is needed, but one can choose between two programs similars :
• TeX Studio
• TeX Maker
The beginning
First you have to describe the type of the document (article, book, ...), the size of the print (11
points or 12 points generally), the syze of the paper (letterpaper or A4 , A5 [Continental Europe])
and the packages used to write an article of mathematics. You can also use the type of document
defined by the American Mathematical Society (\documentclass{amsart}). Here you are for the
most casual forms (That you can copy-glue)
\documentclass{amsart}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{comment}
\usepackage[parfill]{parskip}
\usepackage{array}
remark : in some cases it is possible that the package {babel} is needed
So one can add it in this manner :
\usepackage{babel}[english]

The new commands
A new command allow us to type a shorter text. For example :
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
This new command replace the second writing \mathbb{Z} of the ring Z by \Z , a shorter writing.
What you can’t miss
What you can’t miss, after protocols and new commands is to begin by \begin{document} and at
the end of the document is to finish by \end{document}. Otherwise the template would be
impossible, exempla gratia you can’t transform the file nameofthefile.tex in afile nameofthefile.pdf
Here you are what you must copy-glue in order to realize an article :
\begin{document}
\title{write the title}
\author{write your name}
\date{write the date or the place and the date}
\maketitle
\end{document}

The LaTeX formula
In math mode the formula are preceded by $. For Example $\int_{a}^{b} f(x) dx$ what we can read
as : integration from a to b of f(x) dx.
The usefull LaTeX formulae are :
• \int_{0}^{\infty} = integration from zero to infinity
• \Sum_{i=1}^{n} ou \Sigma_{i=1}^{n} = Addition from i=1 to n
• \Pi_{i, i\neq j} e_{i} e_{j} = Product on i , i different to j, of ei ej
• A \times B = Cartesian Product of A and B
• f \circ g (x) = f(g(x))
• A \cup B = union of A and B
• A \cap B = intersection of A and B
• a \in A = a belong to A
• \forall x = forall x
• \exists \epsilon = exists epsilon
• \emptyset = emptyset
• \overline{n} = n with a straight line above it (element of a division ring)
• \overrightarrow{v} = vector v
• \rightarrow (resp. \leftarrow) = simple arrow to the right (resp. the left)
• Rightarrow (resp. \Leftarrow) = double arrow to the right (resp. the left)
• LeftRightarrow = double implication
• \quad = big space between two expressions
example : x = \quad 3 mod \quad 5
x = 3 mod 5
• \mathbb{R} = set of reals
• \mathfrak{a} = ideals of a ring
• \frac{3}{4} = rationnal number three quarter
• \geq = grand or equal
• \leq = less or equal
• > = grand
• < = less
• A \subset B = A is a subset of B
• \sqrt = square root of
• x_{i} = x indice i
• a^{n} = a exposant n
• \Aleph_{0} = Aleph zero
• \cong = congru modulo
• \bigotimes = tensor product
• \rond{\frac{\partial f}{\partial t}} = partial derivative of f by à t
• \nabla f = gradient of f

Later developpement in LaTeX
By developpement, we understand expressions like equation system, matrix, déterminants, ...

• Express a matrix with coefficients aij
A possible manner is this :
$\left(\begin{matrix}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{matrix}\right)$.
An other manner is those :
$\left(\begin{array}{cc}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array} \right )$

• Express a determinant with coefficients aij
$\left | \begin{array}{rrr}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{array} \right | $

• Express an equation systems of modular congruences
$\left\{ \begin{array}{lll}
x\cong\quad a_{1}\ mod\quad \mathfrak{a}_{1}\\
....\\
x\cong\quad a_{n}\ mod\quad \mathfrak{a}_{n}
\end{array}\right.$
The indications {cc}, {rrr} ou {lll} design an alignement on the centre {c} , on the right {r} or
on the left {l}. One need use so many c, r or l that exists lines.

Template
When you wrote a part of the text, you need to template.
• using TeX Studio
Unscrolling Box Tools, then template or F1
• using TeX Maker
Unscrolling box Toolss, then template or F1
One needn't waiting to type all the text to template. On the contrary, it's better to template paragraph after paragraph, because if the template fails you will need to go back until the moment the template succeed and after going slowly line by line in ordrer to detect your error.

Histoire des mathématiques (2) : la découverte de l'infini

Nous allons aborder l’histoire des mathématiques sous l’angle des grandes découvertes qui
ont révolutionné les mathématiques
.
La découverte de l’infini
La première grande découverte dans l’histoire des mathématiques fut celle de l’infini. Ce
furent les Grecs qui découvrirent cette chose étrange, à savoir qu’un calcul peut ne pas avoir
de fin. Cette construction infinie, ils la nommèrent Apeiron . Archimède , par une suite
infinie de polygones inscrits et circonscrits à un cercle, démontra l’irrationalité du nombre Pi.
Pythagore, par le calcul de l’hypothénuse d’un triangle rectangle de côté un, découvrit un
autre nombre irrationnel : racine de 2.
Il fallut attendre l’époque moderne et que le savoir mathématique des Grecs fut transmis à
l’Occident par des moines copistes romains byzantins pour que le concept d’infini refasse
surface. [1]
La question du statut de l’infini, de sa réalité tangible éventuellement autre que sa réalité
mathématique, apparut dès que le concept d’ensemble puis d’ensemble de nombres germa
dans l’esprit des mathématiciens contemporains. Un ensemble de nombres entiers naturels,
qui est infini, possède-t-il un élément un élément qui est l’infini lui-même et obligerait
l’ensemble à s’appartenir?
Cantor va différentier l’infini en deux concepts distincts : l’infini potentiel, celui de
l’algorithme des Grecs qui tend vers une valeur sans jamais l’atteindre et l’infini actuel, celui
de la quantité des nombres entiers naturels Aleph zero, cardinal infini que l’on ne peut pas dépasser.
Skolem, en développant la théorie des modèles, montrera qu’un modèle non standard de
l’arithmétique possède un élément plus grand que l’infini, auquel les mathématiciens qui lui
succéderont donneront le nom d’hypernaturel. Robinson développera lui un modèle non
standard de l’analyse et donnera le nom d’hyperréel à toute quantité divisée par un nombre
hypernaturel.
Références
[1] Sylvain Gougenheim, Aristote au Mont-Saint-Michel, Seuil, Collection L’Univers
Historique, 2008 Voir aussi : Voir aussi La fabuleuse machine d'Anticythère et Algorismus, le traducteur le plus connu de l'histoire des mathématiques

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Cours gratuit de formation à LaTeX

En cours d'élaboration

Les logiciels nécessaires
Il est impératif de télécharger les logiciels LaTeX soit sur le site LaTeX soit à partir d'une bibliothèque de programmes pour les utilisateurs d'Ubuntu.

1.    sous Windows
Plusieurs programmes sont nécessaires dont Ghost Script (logiciel permettant la compilation càd la transformation du texte source en texte pdf)

2.    sous Linux

Un seul programme est nécessaire, mais il y a le choix entre des programmes équivalents :

TeX Studio
TeX Maker

Les protocoles
Ce sont le type de document (article ou autre), la taille des caractères (11 points ou 12 points généralement), le format du papier (A4 , A5 , letterpaper - USA) et les packages nécessaires à la rédaction d’un article de mathématiques. Voici les plus usuels (que vous pouvez copier-coller)

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{comment}
\usepackage[parfill]{parskip}
\usepackage{array}

Les nouvelles commandes
Une nouvelle commande permet de taper moins de texte. Par exemple :
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
Cette nouvelle commande remplace la 2eme notation (entre crochets) de l’anneau Z par la première qui est beaucoup plus courte.

Les indispensables
Il est indispensable, après les protocoles et les nouvelles commandes de commencer par \begin{document} et de terminer l’article par \end{document}. L’oubli d’une de deux mentions rendra impossible la compilation, c’est-à-dire la transformation du fichier  nomdelarticle.tex en un fichier nomdelarticle.pdf Voici les indispensables que vous devez absolument copier-coller pour réaliser un article :

\begin{document}

\title{écrire le titre}
\author{écrire son nom}
\date{écrire la date ou le lieu et la date}

\maketitle
\end{document}

Les formules LaTeX

En mode math les formules sont entourées du signe $. Exemple $\int_{a}^{b} f(x) dx$ ce qui se lit : intégrale de a à b de f(x) dx. Les formules LaTeX les plus usuelles sont :

\int_{0}^{\infty} = intégrale de zéro à l’infini
\Sum_{i=1}^{n} ou \Sigma_{i=1}^{n} = Somme depuis i=1 jusque n
\Pi_{i, i\neq j} e_{i} e_{j} = Produit sur i , i différent de j, des ei ej
A \times B = Produit cartésien de A et de B
f \circ g (x) = f rond g de x = f(g(x))
A \cup B = A union B
A \cap B = A inter B
a \in A = a appartient à A
\forall x = pour tout x
\exists \epsilon = il existe epsilon
\emptyset = ensemble vide
\overline{n} = n avec une barre horizontale au-dessus de lui (élément d’anneau-quotient)
\overrightarrow{v} = vecteur v
\rightarrow (resp. \leftarrow) = simple flèche vers la droite (resp. la gauche)
Rightarrow (resp. \Leftarrow) = double flèche vers la droite (resp. la gauche)
LeftRightarrow = double implication
\quad = grand espace entre deux groupes
        exemple : x = \quad 3 mod \quad 5
                         x =    3      mod       5
\mathbb{R} = ensemble des réels avec double barre sur le côté
\mathfrak{a} = idéal a d’un anneau
\frac{3}{4} = le rationnel trois quarts
\geq = plus grand ou égal
\leq = plus petit ou égal
> = plus grand
< = plus petit
A \subset B = A est sous-ensemble de B ou A est inclus dans B
\sqrt = racine carrée de
x_{i} = x indice i
a^{n} = a exposant n
\Aleph_{0} = Aleph zéro
\cong = congru modulo
\bigotimes = produit tensoriel
\rond{\frac{\partial f}{\partial t}} = dérivée partielle de f par rapport à t
\nabla f = gradient de f
\quad = grand espace entre deux expressions

Les développements en LaTeX
Par développement, nous entendons des expressions telles que des systèmes d’équation, des expressions matricielles, des déterminants, ...

Exprimer une matrice avec des coefficients aij

Une manière possible est celle-ci :

$\left(\begin{matrix}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{matrix}\right)$.

Une autre manière est celle-là :

$\left(\begin{array}{cc}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array} \right )$

Exprimer un déterminant avec des coefficients aij

$\left | \begin{array}{rrr}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{array} \right | $

Exprimer un système d’équations de congruences modulaires

$\left\{ \begin{array}{lll}
x\cong\quad a_{1}\ mod\quad \mathfrak{a}_{1}\\
  ....\\
x\cong\quad a_{n}\ mod\quad \mathfrak{a}_{n}    
\end{array}\right.$

Les indications {cc}, {rrr} ou {lll} indiquent un alignement au centre {c} , à droite {r} ou à gauche {l}. Il faut indiquer autant de c, r ou l qu’il y a de lignes



La compilation
Une fois que vous avez tapé une partie de texte , il faut compiler.
en TeX Studio
Boîte déroulante Outils, taper Production et visualisation ou F1
en TeX Maker
Boîte déroulante Outils, taper Compilation rapide ou F1

Il ne faut pas attendre d’avoir tout tapé pour compiler. Au contraire, il vaut mieux compiler au fur et à mesure, car si la compilation échoue il faudra revenir en arrière càd jusqu’au moment où la compilation se faisait et puis essayer de détecter l’erreur.

Mathématiques constructivistes

Le jeu numérique de Mah-Jong. Le jeu numérique sur PC/MAC de Mah-Jong nous apprend énormément sur la relation problème-solution et sur l'émergence d'une question à partir de la construction du problème. En empilant les tuiles par paires dans un ordre donné, on arrive à une configuration précise. La question associée à la construction est : comment enlever toutes les tuiles par paires pour qu'il n'en reste plus une seule sans qu'aucune ne soit bloquée? La solution est triviale si on a noté l'ordre de succession des opérations de placement des tuiles à un endroit donné. Il suffit alors de prendre l'ordre de succession inverse à celle du placement pour l'enlèvement des tuiles.

Le constructivisme. Le constructivisme est une vision des mathématiques qui suppose que tout peut être construit. Très utile pour la résolution de problèmes; car on peut alors construire le problème à partir de la solution, la résolution étant le processus inverse de la construction. Lorsque la construction s'exprime par une fonction (respectivement une suite de fonctions), la résolution s'exprimera par la fonction inverse (respectivement une suite dans l'ordre inverse de fonctions inverses)

Une résolution mathématique. On peut construire l'équation du second degré en partant de la solution. Soient x1 et x2 , les solutions.

Work in Progress. La suite de l'article sera publiée prochainement.

Louvain-la-Neuve le 14 février 2017 

Arithmétique dans un anneau d'entiers

Un peu de beauté mathématique
La résolution du problème de la division d’une armée en 3 et 5 (dans la littérature mathématique,
on trouve aussi une division en 3, 5 et 7[1]) dont on donne les restes et dont il faut calculer
la taille nous fournit un très bel exemple d’isomorphisme entre les modules de Z/3Z x Z/5Z et Z/15Z. En
voici l’illustration :

Aspects théoriques
On parle aujourd’hui de théorèmes chinois[1] dans la littérature mathématique mais il faut
savoir qu’il s’agit d’une reformulation moderne de propriétés mathématiques connues des Chinois
mais aussi des Grecs (il semblerait selon les historiens des mathématiques que les Grecs
connaissaient déjà le théorème chinois des restes). Supposons qu’un anneau A soit isomorphe
à un produit cartésien d’anneaux1, ce que l’on note A = A1 × A2 × ...An, alors il existe
un isomorphisme entre les idéaux ai générés par les idempotents ei, noté ai =< ei >, avec
ei = (0, 0, ..., 1Ai , 0, .., 0), et les idéaux de A notés a, b, c, .... De plus, les idempotents orthogonaux
ont une propriété projective et les images (par l’isomorphisme ) des idempotents du produit
cartésien d’anneaux ont cette même propriété.

Suite de l'article sur MathPartage1



Références
[1] Gras, Georges et Marie-Nicole, Arithmétique, Algèbre fondamentale, 2004, Ellipses.
[2] Kostrikin, A., Introduction à l’algèbre, 1981,Editions de Moscou, traduit en francais du russe par V.Kolimeev
[3] Gregoire, P. et Noël, G., Des Catégories, 1979, Presses Universitaires du Zaïre.
[4] Charles, Bernard et Allouch, Denis, Algèbre générale, 1ere édition, 1984, PUF
[5] Perrin, Daniel, Cours d’algèbre, 1996, Ellipses
[6] Godement, Roger, Cours d’algèbre, 1966, Hermann
[7] Papy, Georges, Mathématiques modernes 5, Arithmétique, 1966, Marcel Didier
E-mail address: thierryveyt@gmail.com

Louvain-la-Neuve le 14 février 2017