Histoire des mathématiques (2) : la découverte de l'infini

Nous allons aborder l’histoire des mathématiques sous l’angle des grandes découvertes qui
ont révolutionné les mathématiques
.
La découverte de l’infini
La première grande découverte dans l’histoire des mathématiques fut celle de l’infini. Ce
furent les Grecs qui découvrirent cette chose étrange, à savoir qu’un calcul peut ne pas avoir
de fin. Cette construction infinie, ils la nommèrent Apeiron . Archimède , par une suite
infinie de polygones inscrits et circonscrits à un cercle, démontra l’irrationalité du nombre Pi.
Pythagore, par le calcul de l’hypothénuse d’un triangle rectangle de côté un, découvrit un
autre nombre irrationnel : racine de 2.
Il fallut attendre l’époque moderne et que le savoir mathématique des Grecs fut transmis à
l’Occident par des moines copistes romains byzantins pour que le concept d’infini refasse
surface. [1]
La question du statut de l’infini, de sa réalité tangible éventuellement autre que sa réalité
mathématique, apparut dès que le concept d’ensemble puis d’ensemble de nombres germa
dans l’esprit des mathématiciens contemporains. Un ensemble de nombres entiers naturels,
qui est infini, possède-t-il un élément un élément qui est l’infini lui-même et obligerait
l’ensemble à s’appartenir?
Cantor va différentier l’infini en deux concepts distincts : l’infini potentiel, celui de
l’algorithme des Grecs qui tend vers une valeur sans jamais l’atteindre et l’infini actuel, celui
de la quantité des nombres entiers naturels Aleph zero, cardinal infini que l’on ne peut pas dépasser.
Skolem, en développant la théorie des modèles, montrera qu’un modèle non standard de
l’arithmétique possède un élément plus grand que l’infini, auquel les mathématiciens qui lui
succéderont donneront le nom d’hypernaturel. Robinson développera lui un modèle non
standard de l’analyse et donnera le nom d’hyperréel à toute quantité divisée par un nombre
hypernaturel.
Références
[1] Sylvain Gougenheim, Aristote au Mont-Saint-Michel, Seuil, Collection L’Univers
Historique, 2008 Voir aussi : Voir aussi La fabuleuse machine d'Anticythère et Algorismus, le traducteur le plus connu de l'histoire des mathématiques