Les tresses

La notion de vecteur Nous définissons tout d’abord un vecteur comme un opérateur fonctionnel ou foncteur, c’est-à-dire une fonction qui applique une fonction sur une autre fonction. Autrement dit, au triplet (point de départ, flèche, point d’arrivée) je fais correspondre le triplet (point de départ bis, flèche bis, point d’arrivée bis). L’opération est un copier-coller. Ce qui se note : Γ : f ->Γ (f) γ 1 : x ->γ 1 (x) γ 2 : f (x) ->γ 2 (f (x) ) Lorsque nous définissons un produit cartésien de deux ensembles E et F, un vecteur apparaît immédiatement comme une fonction de E×F dansE×F. Ce qui s’écrit : Γ :E×F -> E×F Γ : (x , f(x) ) -> (γ 1 (x) ,γ 2 (f (x) ) ) Transformation d’opérateur vectoriel Nous définissons un opérateur vectoriel comme un foncteur ou une fonction qui applique un vecteur sur un vecteur, ou qui applique un opérateur fonctionnel sur un opérateur fonctionnel. Ce qui se note : 𝔤 :Γ ->𝔤 (Γ ) 𝔤 : x ->𝔤 (x) 𝔤 : f (x) ->𝔤 ( f(x) ) 𝔤 :γ 1 (x) ->𝔤 (γ 1 (x) ) 𝔤 :γ 2 (f (x) ) ->𝔤 (γ 2 (f (x) ) ) Tresse élémentaire Considérons le produit cartésien𝔽 2×𝔽 2 , la fonction f [ (0,0) -> (0,1) ; (1,0) -> (1,1) ] et les fonctionsf 1 [(0,0) -> (0,1)] etf 2 [(1,0) -> (1,1)]. Nous allons voir que le résultat mathématique diffère selon que l’on utilise f ou le couple de fonctions (f 1 ,f 2 ). Cette tresse élémentaire, sans chevauchement de brins est aussi appelée tresse unité. Transformation d’une tresse par un opérateur En chantier Work in progress