La résolution du problème de la division d’une armée en 3 et 5 (dans la littérature mathématique,
on trouve aussi une division en 3, 5 et 7[1]) dont on donne les restes et dont il faut calculer
la taille nous fournit un très bel exemple d’isomorphisme entre les modules de Z/3Z x Z/5Z et Z/15Z. En
voici l’illustration :
Aspects théoriques
On parle aujourd’hui de théorèmes chinois[1] dans la littérature mathématique mais il faut
savoir qu’il s’agit d’une reformulation moderne de propriétés mathématiques connues des Chinois
mais aussi des Grecs (il semblerait selon les historiens des mathématiques que les Grecs
connaissaient déjà le théorème chinois des restes). Supposons qu’un anneau A soit isomorphe
à un produit cartésien d’anneaux1, ce que l’on note A = A1 × A2 × ...An, alors il existe
un isomorphisme entre les idéaux ai générés par les idempotents ei, noté ai =< ei >, avec
ei = (0, 0, ..., 1Ai , 0, .., 0), et les idéaux de A notés a, b, c, .... De plus, les idempotents orthogonaux
ont une propriété projective et les images (par l’isomorphisme ) des idempotents du produit
cartésien d’anneaux ont cette même propriété.
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Références
[1] Gras, Georges et Marie-Nicole, Arithmétique, Algèbre fondamentale, 2004, Ellipses.
[2] Kostrikin, A., Introduction à l’algèbre, 1981,Editions de Moscou, traduit en francais du russe par V.Kolimeev
[3] Gregoire, P. et Noël, G., Des Catégories, 1979, Presses Universitaires du Zaïre.
[4] Charles, Bernard et Allouch, Denis, Algèbre générale, 1ere édition, 1984, PUF
[5] Perrin, Daniel, Cours d’algèbre, 1996, Ellipses
[6] Godement, Roger, Cours d’algèbre, 1966, Hermann
[7] Papy, Georges, Mathématiques modernes 5, Arithmétique, 1966, Marcel Didier
E-mail address: thierryveyt@gmail.com
Louvain-la-Neuve le 14 février 2017
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