Le foncteur d’oubli

L’exemple classique que l’on donne pour un «foncteur d’oubli» est la projection d’un cube sur un plan parallèlement aux arêtes et perpendiculairement au plan. Le carré obtenu par la projection est celui d’un «oubli» de structure ; la structure cubique ayant été oubliée dans le carré. Un très bel exemple du foncteur d’oubli est celui du passage d’un vecteur à ses coordonnées : Gamma : (0,0,0) -> (x,y,z) peut être transformé par un foncteur d’oubli FO FO : Gamma -> Gamma ' avec Gamma ' : Phi (ensemble vide) -> (x,y,z) Une autre manière de voir le foncteur d’oubli FO FO : Gamma -> Im Gamma Im Gamma : (x,y,z) -> (x,y,z) Autrement dit nous pouvons écrire le foncteur d’oubli de la manière suivante : Il opère sur le domaine en transformant (0,0,0) en (x,y,z) et en transformant l’image en ellemême (x,y,z) en (x,y,z). Ce que nous pouvons écrire en une ligne FO : ( (0,0,0), (x,y,z) ) -> ( (x,y,z), (x,y,z) ) Une dernière étape consistera à ne regarder que l’image du vecteur transformé. Cela s’appelle un transport de structure.

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Les nombres complexes généralisés

On parle aussi de nombres complexes fendus ou déployés. La généralisation procède de la manière suivante : 1 ere généralisation On considère que pour le nombre complexe usuel x + y i, le nombre imaginaire i est solution de l'équation x² + 1 = 0. On écrit alors le nombre complexe sous la forme x + y (solution de x² + 1 = 0). On généralise alors en remplaçant la solution de x² + 1 = 0 par la solution d'une équation du second degré avec Delta négatif. On écrit alors x + y (solution de x² + p x + q = 0). Et on appelle I = solution de x² + p x + q = 0 avec Delta négatif (Delta vaut p² - 4 q) 2 eme généralisation. On procède de la même manière mais cette fois on utilise un Delta positif. Soit E = solution de x² + p x + q = 0. On écrit x + y E Source : Les nombres complexes et leur application en géométrie, Yaglom, éditions Dunod