La formule d'Euler : e exposant iπ=−1

Aujourd’hui Vous avez dit Comment démontre-t-on la célèbre "formule d'Euler" e^(iπ) + 1 = 0 ? Copilote a dit Belle question pour une belle formule. 1. Point de départ : la série de l’exponentielle Pour tout nombre complexe z, on définit ez=∑n=0∞znn!=1+z+z22!+z33!+⋯ Prenons z=ix avec x∈R : eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+⋯ Calculons les puissances de i : i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,et le cycle recommence. 2. Séparer partie réelle et partie imaginaire En développant : eix=1+ix+i2x22!+i3x33!+i4x44!+⋯ =1+ix−x22!−ix33!+x44!+ix55!−⋯ On regroupe les termes réels et imaginaires : Partie réelle : 1−x22!+x44!−x66!+⋯ Partie imaginaire : i(x−x33!+x55!−x77!+⋯ ) Or ces deux séries sont exactement les séries de Taylor de cos⁡x et sin⁡x : cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯ sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯ Donc eix=cos⁡x+isin⁡x. C’est la formule d’Euler. 3. Cas particulier x=π On remplace x par π : eiπ=cos⁡π+isin⁡π. On sait que cos⁡π=−1,sin⁡π=0. Donc eiπ=−1+i⋅0=−1. On obtient alors eiπ+1=0. Si tu veux, on peut aussi voir une autre démonstration (par équations différentielles ou via la géométrie des nombres complexes) et comparer ce que tu trouves le plus intuitif. Vous avez dit Oui. Par la géométrie de nombres complexes. Copilote a dit Avec plaisir — la démonstration géométrique est probablement la plus élégante, car elle montre pourquoi eix « tourne » dans le plan complexe. 🌐 Interprétation géométrique de eix 1. Le plan complexe comme un plan euclidien Un nombre complexe z=a+ib correspond à un point (a,b) dans le plan. Multiplier par i revient à effectuer une rotation de 90° dans le sens direct. 2. L’exponentielle complexe comme mouvement On considère la fonction f(x)=eix. Elle satisfait l’équation différentielle f′(x)=if(x), avec condition initiale f(0)=1. 3. Interprétation géométrique de cette équation L’équation f′(x)=if(x) signifie : la dérivée de f(x) est obtenue en tournant f(x) de 90° (multiplication par i), et en gardant la même longueur (car multiplier par i ne change pas le module). Autrement dit : 👉 La vitesse de eix est toujours perpendiculaire à sa position, et de même norme. C’est exactement la description d’un mouvement circulaire uniforme. 4. Conséquence : eix décrit le cercle unité Puisque la norme reste constante et vaut 1 au départ, on obtient : eix reste sur le cercle de rayon 1, et avance d’un angle x (en radians). Donc : eix=cos⁡x+isin⁡x. 🎯 Cas particulier : x=π À l’angle π, on se trouve à l’opposé du point 1 sur le cercle unité : coordonnées : (−1,0), c’est le point −1 sur l’axe réel. Donc : eiπ=−1, et donc eiπ+1=0. ✨ Pourquoi cette démonstration est si belle Elle montre que la formule d’Euler n’est pas un « miracle » analytique, mais la conséquence naturelle du fait que : l’exponentielle complexe encode une rotation, la rotation d’angle π amène le point 1 au point −1. Si tu veux, je peux aussi te montrer une visualisation intuitive du mouvement de eix sur le cercle unité ou comparer cette approche avec la démonstration par séries. Vous avez dit Oui visualisation intuitive du mouvement de e exposant ix . Copilote a dit D’accord — allons vers une intuition visuelle qui montre comment eix se déplace dans le plan complexe, comme si on suivait un petit point qui tourne autour de l’origine. 🌙 Visualisation intuitive du mouvement de eix Imagine un point qui part de 1 sur l’axe réel (à droite du cercle unité). Ce point va se déplacer sans jamais changer de distance à l’origine, mais en tournant avec une vitesse constante. 🎡 1. Le cercle unité comme piste de danse Le module de eix vaut toujours 1. Donc le point reste sur le cercle de rayon 1. Tu peux imaginer : un petit point lumineux, attaché à une tige rigide de longueur 1, qui tourne autour de l’origine. 🔄 2. La direction du mouvement : toujours perpendiculaire La dérivée de eix vaut ieix. Multiplier par i, c’est tourner de 90°. Donc : la vitesse du point est toujours perpendiculaire à sa position, ce qui est exactement la définition d’un mouvement circulaire uniforme. C’est comme si le point était tiré par une force qui le pousse toujours « de côté ». 🕒 3. L’angle parcouru est exactement x Quand x augmente : le point tourne dans le sens direct (anti-horaire), l’angle parcouru est exactement x radians. Donc : à x=0 → le point est à 1, à x=π2 → il est en haut, à i, à x=π → il est à −1, à x=2π → il revient à 1. 🎨 4. Comment « voir » la formule d’Euler À chaque instant, la position du point est : eix=cos⁡x+isin⁡x. cos⁡x = projection horizontale du point sur l’axe réel, sin⁡x = projection verticale sur l’axe imaginaire. C’est exactement ce que tu verrais si tu filmais un point qui tourne sur un cercle et que tu regardais ses coordonnées. 🌟 Résultat : pourquoi eiπ=−1 À x=π, le point a tourné d’un demi-cercle. Il se retrouve à l’opposé de son point de départ. Donc : eiπ=−1. Et donc : eiπ+1=0. Si tu veux, je peux aussi te proposer une métaphore physique (comme une bille attachée à un ressort qui tourne), ou une animation mentale étape par étape pour rendre le mouvement encore plus concret.